Trg Svetog Save 34, 31000 Užice, Srbija; PIB 111925736; ŽR 840-2114666-27
031/513-385, 512-013
skola@vpts.edu.rs

Blog // Zlatni presek

 „Geometrija ima dva velika blaga: jedno je Pitagorina teorema, a drugo zlatni presek. Prvi se može uporediti sa čistim zlatom, a drugi sa neprocenjivim vrednostima dijamanata.” Johanes Kepler, 16. vek, nemački astronom

 

Definicija: Zlatni presek predstavlja odnos dužine dužeg dela, u oznaci “a” prema dužini kraćeg dela, u oznaci “b” koji je jednak odnosu njihovog zbira “(a + b)” prema dužem delu  “a”. (Slika 1.)

Fibonačijevi brojevi  

Definicija: Fibonačijev niz je beskonačan niz u kome je svaki član zbir prethodna dva.

Iz rekurzivne definicije sledi:

Dobija se Fibonačijev niz brojeva : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

Fibonačijevi brojevi su usko povezani sa zlatnim presekom. Najznačajnije osobine su:

(1) Odnos svaka dva uzastopna člana Fibonačijevog niza konvergira ka zlatnom preseku.

(2) Bilo koji Fibonačijev broj može se izračunati korišćenjem zlatnog preseka,

(3) Množenjem prethodnog Fibonačijevog broja zlatnim presekom (1,618), dobija se približno sledeći Fibonačijev broj.

Na primer, 13 je broj u Fibonačijevom nizu, 13×1,618034…= 21,034442, što predstvalja sledeći broj 21.

(4) Programski kodovi nisu komplikovani, na primer kod u MATLABu za generisanje Fibonačijevog niza:

function f = fibonacci(n)
f = zeros(n, 1);
f(1) = 1;
f(2) = 1;
for k = 3:n
f(k) = f(k – 1) + f(k – 2);
end
end

(5) Paskalov trougao, koji je razvio francuski matematičar Blez Paskal, formira se tako što počinje sa vrhom od 1. Svaki broj ispod u trouglu je zbir dva broja dijagonalno iznad njega levo i desno, a pozicije izvan trougla se računaju kao nula. Brojevi na dijagonalama trougla pripadaju Fibonačijevom nizu.

(6) Konstrukcija “zlatnog” preseka linije, “zlatnog” pravougaonika i “zlatne” spirale

Primena Zlatnog preseka (tzv. Božanska proporcija)

  • Fibonačijev niz se nalazi u različitim oblastima od prirode, do umetnosti, dizajna, arhitekture, muzike i ljudskog tela.
  • u informatici: računarski algoritmi, paralelni i distribuirani sistemi, kriptografiji, web dizajnu itd.
  • u brojnim oblastima nauke uključujući fiziku, kvantnu mehaniku, ekonomiju itd.

Neki primeri (Google logo, auto industrija, idealna proporcija ljudskog lica)…:

Autor,
dr Ljubica Diković, prof.str.st.