

Najveći grčki lažljivac kaže: „Ja lažem”. Laže li on ili govori istinu?
Postoji li skup koji sadrži sve skupove?
Čuvena je izjava Sokrata: „Znam da ništa ne znam”.
Šta su odgovori na ova pitanja?
Reč „paradoks” potiče od dve grčke reči: para, sa značenjem „nasuprot“ i doksa, sa značenjem „mišljenje“.
Logički paradoks je svaki iskaz (ili skup iskaza) koji se čini da je u suprotnosti sa sobom (ili jedan drugom) dok istovremeno deluje potpuno logično.
Paradoks je samo pogrešna izjava koja se čini tačnom zbog nedostatka suštinske logike ili informacija, ili primene logike u situaciji u kojoj nije primenljiva, što dovodi do kontradikcije (protivurečnosti).
Postoje mnogi paradoksi koji, iako zasnovani na pogrešnim argumentima, razvijaju kritičko mišljenje (na pr. Zenonovi paradoksi), ili su pak omogućili otkrivanje grešaka u važećim matematičkim sistemima za koje se do tada pretpostavljalo da su nepogrešivo tačni (Raselov i Kantorov paradoks).
1. Paradoks lažljivca
Svojstvo najvećeg grčkog lažljivca je da laže.
Ako kaže ja lažem, znači da je ta tvrdnja neistinita.
Negiranjem se dobija iskaz „Ja ne lažem” što navodi na zaključak da lažljivac govori istinu, ali pošto je lažljivac, ne može govoriti istinu!
2. Zenonov (oko 490-430.god. p.n.e) paradoks – Ahilej i kornjača
Zenonovi argumenti, poznatiji kao „argumenti protiv kretanja”, prvi su primeri metode saznanja zvane reductio ad absurdum (svođenja na apsurd).
Drevni filozofi Platon, Aristotel, savremeni filozofi, osnivači diferencijalnog računa Njutn i Lajbnic, osnivač teorije relativiteta Albert Ajnštajn, matematičar i logičar Bertrand Rasel i brojni drugi naučnici bili su inspirisani da se suoče sa Zenonovim argumentima.
Čuveni Zenonov paradoks o trci izmedu najbržeg starogrčkog heroja iz Homerove Ilijade i Odiseje Ahileja i spore kornjače bio je više od 2500 godina predmet brojnih rasprava u filozofiji i matematici.
Zamislimo da Ahilej trči protiv kornjače. Kornjači, koja je sporija, data je prednost. Kornjača se kreće konstantnom brzinom.
U cilju pojednostavljenja problema, pretpostavimo da Ahilej trči 10 puta brže od kornjače i počinje od tačke A, koja je 10 metara iza kornjače koja je u tački K.
Da bi prestigao kornjaču, Ahilej mora prvo da doći do tačke K. Međutim, kada je Ahilej stigao do tačke K, kornjača je prešla jedan metar i došla do tačke K1.
Ponovo Ahilej trči do K1, ali sada je kornjača na deseti deo metra ispred njega, kod tačke K3, i tako dalje. Razmišljajući na ovaj način, Ahilej nikada ne može prestići kornjaču, jer je ona uvek na nekom određenom rastojanju ispred njega (vidi Sliku br.1).

Slika br. 1. Vizuelna reprezentacija problema
Ipak, šta nije u redu sa Zenonovim argumentom?
Zašto naizgled ispravnim razmišljanjem dolazimo do očito pogrešnog rezultata, da Ahil neće stići kornjaču?
Zenonov argument zapravo onemogućava svako kretanje, jer pre nego što pređemo polovinu udaljenosti moramo preći polovinu udaljenosti, a pre nego što to budemo u mogućnosti da uradimo, moramo da pređemo polovinu od polovine udaljenosti, i tako dalje, tako da u stvarnosti nikada ne možemo da sustignemo nijednu udaljenost, jer to uključuje prethodno sustizanje beskonačnog broja sve manjih rastojanja.
Treba naglasiti da u Zenonovo vreme nije postojala predstava o neprekidnom prostoru, niti o granici beskonačne serije, pa čak ni o nuli. Pretpostavka da je prostor (i vreme) beskonačno deljiv je pogrešna.
Objašnjenje za ovaj paradoks dao je Arhimed, pre 212. godine p.n.e, korišćenjem beskonačnog geometrijskog niza.

Šta je bilo matematički pogrešno u početnom razmišljanju?
Greška je bila u pretpostavci da suma beskonačno mnogo brojeva ne može biti konačna.
Dakle, Zenonov paradoks dobio je matematičko obrazloženje i rešenje uvođenjem pojma geometrijskog niza i geometrijskog reda.
Autor,
dr Ljubica Diković, prof.str.st.